Matematika Berhingga Contoh

$2 x^{2} + 4 y^{2} - 24 x + 32 y + 128 = 0$

Langkah 1

Tentukan bentuk baku dari elips.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $128$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x^{2} + 4 y^{2} - 24 x + 32 y = - 128$

Langkah 1.2

Selesaikan kuadrat dari $2 x^{2} - 24 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 2$

$b = - 24$

$c = 0$

Langkah 1.2.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.2.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 24}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 24$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 24$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 (2)}$

Langkah 1.2.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 12}{2}$

Langkah 1.2.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 12$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2}$

Langkah 1.2.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (1)}$

Langkah 1.2.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 6}{1}$

Langkah 1.2.3.2.2.2.4

Bagilah $- 6$ dengan $1$ .

$d = - 6$

Langkah 1.2.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 24)}^{2}}{4 \cdot 2}$

Langkah 1.2.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1.1

Naikkan $- 24$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot 2}$

Langkah 1.2.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{8}$

Langkah 1.2.4.2.1.3

Bagilah $576$ dengan $8$ .

$e = 0 - 1 \cdot 72$

Langkah 1.2.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $72$ .

$e = 0 - 72$

Langkah 1.2.4.2.2

Kurangi $72$ dengan $0$ .

$e = - 72$

Langkah 1.2.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $2 {(x - 6)}^{2} - 72$ .

$2 {(x - 6)}^{2} - 72$

Langkah 1.3

Substitusikan $2 {(x - 6)}^{2} - 72$ untuk $2 x^{2} - 24 x$ dalam persamaan $2 x^{2} + 4 y^{2} - 24 x + 32 y = - 128$ .

$2 {(x - 6)}^{2} - 72 + 4 y^{2} + 32 y = - 128$

Langkah 1.4

Pindahkan $- 72$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $72$ ke kedua sisinya.

$2 {(x - 6)}^{2} + 4 y^{2} + 32 y = - 128 + 72$

Langkah 1.5

Selesaikan kuadrat dari $4 y^{2} + 32 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 4$

$b = 32$

$c = 0$

Langkah 1.5.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.5.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{32}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.5.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $32$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $32$ .

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.5.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 (4)}$

Langkah 1.5.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot 16}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.5.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{16}{4}$

Langkah 1.5.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $16$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $16$ .

$d = \frac{4 \cdot 4}{4}$

Langkah 1.5.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$d = \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Langkah 1.5.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Langkah 1.5.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{4}{1}$

Langkah 1.5.3.2.2.2.4

Bagilah $4$ dengan $1$ .

$d = 4$

Langkah 1.5.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{32^{2}}{4 \cdot 4}$

Langkah 1.5.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.1

Naikkan $32$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot 4}$

Langkah 1.5.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$e = 0 - \frac{1024}{16}$

Langkah 1.5.4.2.1.3

Bagilah $1024$ dengan $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 64$

Langkah 1.5.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $64$ .

$e = 0 - 64$

Langkah 1.5.4.2.2

Kurangi $64$ dengan $0$ .

$e = - 64$

Langkah 1.5.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $4 {(y + 4)}^{2} - 64$ .

$4 {(y + 4)}^{2} - 64$

Langkah 1.6

Substitusikan $4 {(y + 4)}^{2} - 64$ untuk $4 y^{2} + 32 y$ dalam persamaan $2 x^{2} + 4 y^{2} - 24 x + 32 y = - 128$ .

$2 {(x - 6)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} - 64 = - 128 + 72$

Langkah 1.7

Pindahkan $- 64$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $64$ ke kedua sisinya.

$2 {(x - 6)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} = - 128 + 72 + 64$

Langkah 1.8

Sederhanakan $- 128 + 72 + 64$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1

Tambahkan $- 128$ dan $72$ .

$2 {(x - 6)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} = - 56 + 64$

Langkah 1.8.2

Tambahkan $- 56$ dan $64$ .

$2 {(x - 6)}^{2} + 4 {(y + 4)}^{2} = 8$

Langkah 1.9

Bagi setiap suku dengan $8$ untuk membuat sisi kanan sama dengan satu.

$\frac{2 {(x - 6)}^{2}}{8} + \frac{4 {(y + 4)}^{2}}{8} = \frac{8}{8}$

Langkah 1.10

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 4)}^{2}}{2} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari elips. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan pusat serta sumbu panjang dan sumbu pendek dari elips.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari elips ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $a$ mewakili radius sumbu panjang elips, $b$ mewakili radius sumbu pendek elips, $h$ mewakili x-offset dari titik asal, dan $k$ mewakili y-offset dari titik asal.

$a = 2$

$b = \sqrt{2}$

$k = - 4$

$h = 6$

Langkah 4

Pusat elips mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(6, - 4)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus elips menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{4 - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 5.3.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 5.3.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\sqrt{4 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 5.3.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt{4 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 5.3.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{4 - 2^{1}}$

Langkah 5.3.2.5

Evaluasi eksponennya.

$\sqrt{4 - 1 \cdot 2}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\sqrt{4 - 2}$

Langkah 5.3.3.2

Kurangi $2$ dengan $4$ .

$\sqrt{2}$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $h$ .

$(h + a, k)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(6 + 2, - 4)$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

$(8, - 4)$

Langkah 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Langkah 6.5

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(6 - (2), - 4)$

Langkah 6.6

Sederhanakan.

$(4, - 4)$

Langkah 6.7

Elips mempunyai dua puncak.

${Vertex}_{1}$ : $(8, - 4)$

${Vertex}_{2}$ : $(4, - 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(8, - 4)$

${Vertex}_{2}$ : $(4, - 4)$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $h$ .

$(h + c, k)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(6 + \sqrt{2}, - 4)$

Langkah 7.3

Titik fokus kedua dari elips dapat ditemukan dengan mengurangi $c$ dari $h$ .

$(h - c, k)$

Langkah 7.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(6 - (\sqrt{2}), - 4)$

Langkah 7.5

Sederhanakan.

$(6 - \sqrt{2}, - 4)$

Langkah 7.6

Elips mempunyai dua titik api.

${Focus}_{1}$ : $(6 + \sqrt{2}, - 4)$

${Focus}_{2}$ : $(6 - \sqrt{2}, - 4)$

${Focus}_{1}$ : $(6 + \sqrt{2}, - 4)$

${Focus}_{2}$ : $(6 - \sqrt{2}, - 4)$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}}{2}$

Langkah 8.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{4 - {\sqrt{2}}^{2}}}{2}$

Langkah 8.3.2

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

Langkah 8.3.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

Langkah 8.3.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\sqrt{4 - 2^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Langkah 8.3.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{4 - 2^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Langkah 8.3.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{4 - 2^{1}}}{2}$

Langkah 8.3.2.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{\sqrt{4 - 1 \cdot 2}}{2}$

Langkah 8.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{\sqrt{4 - 2}}{2}$

Langkah 8.3.4

Kurangi $2$ dengan $4$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 9

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis elips.

Pusat: $(6, - 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(8, - 4)$

${Vertex}_{2}$ : $(4, - 4)$

${Focus}_{1}$ : $(6 + \sqrt{2}, - 4)$

${Focus}_{2}$ : $(6 - \sqrt{2}, - 4)$

Eksentrisitas: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 10